Лекция по автоматике

Частотные характеристики

Кроме описания элементов и систем управления временными характеристиками и передаточными функциями в теории автоматического управления также используют и частотные характеристики. Для получения частотных характеристик на вход элемента или системы подают гармонично изменяющийся сигнал. Если на вход подать сигнал в виде гармонической функции то реакция в установившемся режиме также будет гармонической функции, у которой частота остается равной входной, а амплитуда и фаза в процессе передачи изменятся.

Изменение амплитуды и фазы зависят как от свойств звена в системе, так и от частоты гармонического входного воздействия.

Отношение амплитуды выходного сигнала к амплитуде входного, в зависимости от частоты называется амплитудно-частотной  характеристикой (АЧХ) звена или системы:

clip_image116                                                     1.38


Разность фаз колебаний, в зависимости от частоты называют фазочастотной характеристикой (ФЧХ) звена или системы:

clip_image118                                                       1.39


Частотные характеристики звена или системы зависят только от их свойств, но не зависят от амплитуды и фазы входных гармонических воздействий. Чтобы проследить взаимосвязь между частотными характеристиками или динамическими уравнениями представим входные и выходные воздействия в следующем виде:

clip_image120                                                1.40


Возьмем производные от рассматриваемых воздействий:

 

Представим полученное выражение системы (1.40) в уравнение (1.15) и в результате будем иметь выражение вида:

clip_image122                              1.41


Взяв отношение выходного сигнала ко входному получим выражение, напоминающее передаточную функцию, но записанной через частотные характеристики

clip_image124                                                     1.42


Выражение (1.42) называют частотной характеристикой линейной САУ или что эквивалентно комплексной частотной функции. Функция W(jw) получается из передаточной функции путем подстановки в последнюю вместо оператора Лапласа произведение jw. Функция W(jw), при каждом значении w является комплексной величиной и поэтому может быть представлена в показательной форме как:

clip_image126                                       1.43


где А(w) — модуль функции W(jw);

j(w) — аргумент частотной функции W(jw).

Функцию W(jw) также принято называть частотной передаточной функцией или частотным передаточным коэффициентом.

Годограф вектора W(jw), при изменении частоты w от 0 до +¥ называют амплитудно-фазовой характеристикой (АФХ или АФЧХ).

Частотные характеристики связаны друг с другом следующими соотношениями:

 clip_image128                                       1.44