Теория автоматического управления. Лекция 4: Основные характеристики систем автоматического управления

3.5. Передаточные функции и уравнения замкнутой системы

Рассмотрим определение передаточных функций (ПФ) замкнутой системы (рис.3.14) при известных передаточных функциях всех звеньев САУ.

clip_image226

Рис.3.14. Структурная схема одноконтурной системы:

g(t) — задающее воздействие; f(t) — возмущающее воздействие: x(t) — регулируемая (выходная) переменная: e(t)- ошибка (рассогласование) замкнутой САУ

Согласно структурной схеме можно записать:

clip_image228, (3.18)

clip_image230. (3.19)

Уравнение (3.19) называют обычно уравнением замыкания.

Подставляя в уравнение (3.18) значение ошибки из (3.19), после несложных преобразований получим:

clip_image232; (3.20)

передаточную функцию разомкнутой системы

clip_image234; (3.21)

передаточную функцию замкнутой системы по управлению

clip_image236; (3.22)

передаточную функцию замкнутой системы по возмущению

clip_image238. (3..23)

Теперь в выражение (3.19) подставим X(S) из (3.18).

Решая уравнение относительно clip_image240, получим уравнение ошибки замкнутой системы

clip_image242. (3.24)

В выражении (3.24) можно выделить две передаточные функции:

а) передаточную функцию ошибки замкнутой системы от задающего воздействия g(t)

clip_image244; (3.25)

б) передаточную функцию ошибки замкнутой системы от возмущающего воздействия

clip_image246. (3.26)

Важно отметить, что все передаточные функции замкнутой системы имеют один и тот же знаменатель и отличаются только числителем.

Дифференциальное уравнение замкнутой системы можно получить из (3.20) или (3.24) умножением всего выражения на знаменатель и, переходя к оригиналам, в символической форме получим:

clip_image248 (3.27)

clip_image250. (3.28)

Если заменить передаточные функции звеньев конкретными выражениями, то можно записать дифференциальные уравнения системы в виде:

для выходной (регулируемой) величины х

clip_image252; (3.29)

для ошибки clip_image254 (3.30)
где clip_image256соответствуют числителю и знаменателю передаточной функции разомкнутой системы;

clip_image258 соответствует числителю ПФ (3.22);

clip_image260 соответствует числителю ПФ (3.23);

clip_image262 соответствует числителю ПФ (3.26).

Характеристическое уравнение замкнутой системы

clip_image264
может быть формально получено приравниванием к нулю знаменателя любой передаточной функции замкнутой системы.

Вы здесь: Главная Кибернетика и автоматика ТАУ Теория автоматического управления. Лекция 4: Основные характеристики систем автоматического управления