Лекции для студентов

Физика полупроводников. Лекция 1

§2.2. Плоскости симметрии.

Плоскость симметрии — это такая плоскость, когда кристалл совмещается сам с собой, если все его точки одной части перенести за плоскость по перпендикуляру на равные расстояния.

Подействуем преобразованием на вектор , получим: . Если плоскость σ перпендикулярна оси С_n, то плоскость обозначается σ_h, если плоскость σ проходит через ось С_n, то плоскость обозначается σ_v.

Теорема: Если кристаллы имеют оси симметрии порядка n≥3 (3,4,6), то они имеют и плоскости симметрии σ_v проходящие через эти оси.

Доказательство: Докажем эту теорему только для оси , с ней связаны повороты . Пусть наименьший собственный вектор перпендикулярный оси С₄. Подействуем на преобразованием , получим: . Вектор является наименьшим собственным вектором в своем направлении. Проведем через ось С₄ и плоскость σ_v. Покажем, что эта плоскость будет являться плоскостью симметрии данного кристалла. Для этого надо знать, что любое преобразование α являлось преобразованием симметрии, если выполняется следующие условие:

; ; . Подействуем операцией σ_v на , получим:

; ,  — третий базисный вектор кристалла. Введем вектор перпендикулярный оси С₄, .

, , , плоскости в которой лежат вектора и ; ; ; ;

Следовательно, плоскость , проходящая через оси симметрии четвертого порядка, является плоскостью симметрии кристалла. Например, кристаллы NaCl имеют три взаимно перпендикулярные плоскости симметрии, в которых, в соответствии с доказанной теоремой лежат оси симметрии четвертого порядка.