Лекции для студентов

Для примера качественно оценим эффективные массы в кристаллах Na. Электронами заполнены зоны 1s, 2s, 2p, 3s.

Произведем оценку эффективных масс для 1s и 3s. Скорость трансляционного движения электронов к каждой из зон равна:

(1)

 — ширина разрешенной зоны.

(2)

(3)

(4)

(5)

, скорость электронов в 3s зоне , тогда из (5) следует, что эффективная масса электронов равна ; скорость электронов в 1s зоне , .

Из (1) видно, что скорость электронов под действием электрического поля тем больше, чем больше ширина зоны, а из (5) следует, что эффективная масса тем меньше, чем больше скорость, т.е. чем больше ширина зоны. Эффективная масса в широких зонах будет меньше.

Энергия внешнего электрического поля приложенного к кристаллу расходуется на изменение энергии электронов кристалла. При этом изменяется как кинетическая, так и потенциальная энергия электронов в кристалле. Полная энергия электрона сложным образом зависит от вектора и в разных кристаллах по разному , и следовательно эффективная масса электронов в каждой зоне зависит от волнового вектора , только в окрестности экстремальных точек каждой зоны эффективные массы не зависят от вектора . Экстремальными называют те точки зоны Бриллюэна, которые соответствуют и .

Действительно, в окрестности экстремальных точек, выражается параболической зависимостью, т.е. . Для этого разложим в ряд Тейлора в окрестности экстремальных точек и ограничимся первыми тремя членами разложения. Первая производная равна: . Тогда зависимость вблизи дна зоны проводимости будет иметь вид: , A > 0.

Зависимость вблизи потолка валентной зоны будет иметь вид:

, B > 0.

Здесь отсчитывается от тех точек зоны Бриллюэна, где имеются , . Тогда эффективная масса электронов в окрестности будет равна:

.

Эффективная масса электронов в окрестности будет равна:

Кроме того, эффективная масса может быть как больше, так и меньше или же равна массе свободного электрона. Физическая причина такого поведения эффективной массы заключается в том, что под действием электрического поля меняется как кинетическая, так и потенциальная энергия электронов кристалла.

Будем обозначать через полную, кинетическую и потенциальную энергию электрона до приложения электрического поля, а через соответственно после приложения электрического поля. Через будем обозначать энергию внешнего электрического поля, передаваемого электронам кристалла. Для свободного электрона энергия идет только на изменение кинетической энергии: в отсутствии , после . В кристаллах под действием электрического поля, движение связанных электронов меняется так, что энергия может затрачиваться как на изменение кинетической, так и потенциальной энергий.

Рассмотрим четыре случая, которые могут иметь место в кристалле:

1) Под действием внешнего электрического поля кинетическая энергия увеличивается не только за счет энергии , но и за счет перехода части потенциальной энергии в кинетическую, тогда полная энергия электрона будет равна:

Отсюда следует, что изменение скорости связанного электрона под действием электрического поля будет больше чем для свободного электрона. Запишем второй закон Ньютона для свободных и связанных электронов, на которые действует одна и та же сила F: , , , .

2) В кристалле под действием электрического поля может реализоваться следующий случай, что часть энергии внешнего электрического поля будет затрачиваться на увеличение потенциальной энергии электрона:

В этом случае изменение скорости движения связанного электрона под действием внешнего электрического поля будет меньшим, чем для свободного электрона, тогда: , , , .

3) В некоторых кристаллах может реализовываться такой случай, что в присутствии внешнего электрического поля, потенциальная энергия кристалла увеличивается не только за счет энергии но и за счет перехода части кинетической энергии в потенциальную:

Из этого соотношения следует, что под действием электрического поля скорость электронов уменьшается, тогда: , , .

4) В кристалле может реализоваться и такой случай, что энергия внешнего электрического поля идет только на изменение кинетической энергии, а потенциальная энергия в поле не меняется, тогда:

, , , , .

Эффективная масса электронов в общем случае зависит от вектора зоны Бриллюэна, только в экстремальных точках эффективная масса постоянна, т.е. не зависят от , это очень важно потому, что в частности состояние вблизи дна зоны проводимости и потолка валентной зоны определяет большинство физических свойств полупроводника.