Лекции для студентов

В квантовой механике, как известно трансляционное движение электронов в кристалле под действием внешнего электрического поля можно описывать как распространение волнового пакета со скоростью:

(1)

Под действием силы внешнего электрического поля всякий электрон кристалла должен двигаться ускоренно:

,

, (2)

.

(3)

; тогда (2) принимает вид:

,

, (4)

.

(5)

Т.к. зависимость анизотропная, т.е. не одинакова в разных направлениях зоны Бриллюэна, то величины в общем случае различны их значения образуют компоненты тензора II-го ранга:

Из (4) видно, что имеют размерность массы, а сами уравнения (4) выражают собой второй закон Ньютона для электронов кристалла под действием силы внешнего электрического поля. Из (4) следует, что под действием силы внешнего электрического поля электрон в периодическом поле кристалла, движется как двигался бы свободный электрон под действием этой силы если бы он имел массу (3). Величины являются компонентами тензора эффективной массы электронов в периодическом поле кристалла. С ее введением можно считать, что связанный электрон, под действием внешнего электрического поля, движется как свободный электрон, т.е. электрон не чувствует периодического поля кристаллической решетки и его движение можно описывать теми же законами, как и движение свободного электрона перемещающегося в анизотропной среде.

, .

Найдем эффективную массу свободного электрона, для которого закон дисперсии следующий:

, ,

,

Обычно записывают тензор обратной эффективной массы:

Так как вторая производная не зависит от порядка дифференцирования, то симметричный тензор II–го ранга обладает следующим свойством: оси координат в пространстве можно выбрать так, что все внедиагональные элементы будут равными нулю. Такие оси получили название главных осей координат. Впредь будем считать, что эффективная масса приведена к главным осям координат, тогда тензор обратной эффективной массы будет иметь вид:

В общем случае характеризуется тремя компланарными отличными от нуля векторами, где главные оси координат.